区間[-π,π]において広義積分を含まない、すなわち有界なリーマン可積分関数f(x)の三角関数系におけるフーリエ級数及びフーリエ級数は以下の通りである(なお、フーリエ係数anのnの範囲に定数項であるa0も含まれていることに注意)。
ここでフーリエ級数の収束性についても若干触れておくと、関数f(x)が区分的になめらかならば、f(x)のフーリエ級数は全ての点で収束する。その値をs(x)とすると、関数f(x)が連続な点x0ではf(x0)に、不連続な点x0では(4)をとることが示される。したがって式(1)では等号の=ではなく、近似の〜を用いて関数f(x)を表している。
次に周期関数の周期が2πではない場合、すなわち周期2Lのような場合のフーリエ級数は以下の通りである。
上記式は複素フーリエ級数展開からフーリエ変換へ発展する重要な公式なので是非覚えておきたい。
