2008年08月18日

複素指数関数と微積分

ガウス平面における複素数と指数関数の微積分について考えてみる。
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複素数z=x+jyを2次元平面に対応させた座標系では横軸xを実軸、縦軸を虚軸と呼ぶ。原点を極、実軸の正の部分を始線とする極座標を用いると複素数zは(1)のように表される。ところでsinθ及びcosθのマクローリン展開よりexp(jθ)を考察することにより、導き出せるオイラーの公式を(1)の式に適用すると、(2)の式となる。これを複素数zの指数関数形式と言う。この指数関数の微分及び積分を考える。
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複素数zの指数関数形式をtによる関数とすると、それらに対する微分及び積分は(1)と(2)のようになる。ここで注目すべき点は、微分をすることにより絶対値がω倍となり位相が90度進む、つまりガウス平面において反時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致する。同様に積分をすることにより絶対値が1/ω倍となり位相が90度遅れる、つまりガウス平面において時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致するのである。これら数式の工学的な意味としてフェーザ表示によって表された電気回路におけるコイルとコンデンサの微分方程式の位相の対応が挙げられる。


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