まず、複素フーリエ変換の指揮区間[-L,L]を区間[0,T]へシフトする為に変数変換を行うと(1)となる。ここで有限個のN点でサンプリングすることを考慮すると、複素フーリエ係数の積分は積和で計算可能となるので、(2)のようになる。よって最終的に求まった式の形として、(3)を離散フーリエ変換、(4)を逆離散フーリエ変換と言う。
離散フーリエ変換のオーダーはO(N^2)で、実用的なサンプリング周波数を取った場合、膨大な計算量になることを考えると現実的でない。この問題を解決するために、高速フーリエ変換(FFT)と呼ばれるオーダーがO(NlogN)で計算可能な画期的なアルゴリズムが存在する。
