まず任意の周期の複素フーリエ級数の式に複素フーリエ係数を展開すると(1)が求まる。そこで変数変換をすると(2)となるが、新たな関数Fを(3)のように定義すると(4)となる。今回は周期を持たない関数、つまりL->∞(ωn->0)の場合を考えるので、(5)となる。この式の形はリーマン和の定義に基づき(6)と変形が可能である。そこで(3)に関しても同様にL->∞(ωn->0)となるので(7)が求める。(7)をフーリエ変換と言い、(8)をフーリエ逆変換と言う。
フーリエ変換の式の持つ意味として、時間や座標を変数とする関数を周波数を変数とする関数に変換する作用があり、フーリエ逆変換の式の持つ意味として、周波数を変数とする関数を時間や座標を変数とする関数に変換する作用を持つ。工学的な応用としては幅広く、スペクトル解析などにより、音声解析、変換などに活用できる。
