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フーリエ級数をオイラーの公式を用いた複素フーリエ級数で表すと以下の通りになる。なお、今回は周期2Lの場合も同時に求める。

まず、オイラーの公式から求めた複素数形式の三角関数を用いて、フーリエ級数の等式変形を行うと(1)のようになる。ここで各フーリエ係数を(2)のようにおくと、(3)になる。これを複素フーリエ級数という。またcnは同様にオイラーの公式より(4)のようになる。特に周期2Lの複素フーリエ級数である(5)及び(6)はフーリエ変換へつながる非常に重要な公式なので併せて覚えたい。

フーリエ級数展開とは任意の周期関数を周期2πをもった三角関数系の一次結合で表す方法である。

区間[-π,π]において広義積分を含まない、すなわち有界なリーマン可積分関数f(x)の三角関数系におけるフーリエ級数及びフーリエ級数は以下の通りである(なお、フーリエ係数anのnの範囲に定数項であるa0も含まれていることに注意)。

ここでフーリエ級数の収束性についても若干触れておくと、関数f(x)が区分的になめらかならば、f(x)のフーリエ級数は全ての点で収束する。その値をs(x)とすると、関数f(x)が連続な点x0ではf(x0)に、不連続な点x0では(4)をとることが示される。したがって式(1)では等号の=ではなく、近似の〜を用いて関数f(x)を表している。

次に周期関数の周期が2πではない場合、すなわち周期2Lのような場合のフーリエ級数は以下の通りである。

上記式は複素フーリエ級数展開からフーリエ変換へ発展する重要な公式なので是非覚えておきたい。

電気電子回路のいくつかの記事に誤りがあったので、画像及び内容を修正。