vNull Blog

フーリエ解析を学ぶにあたり、必要な関連予備知識の一覧を以下に示す。なお数学的な厳密さには欠けるが、フーリエ解析の数式などを理解するにあたってはこの程度で十分であると思う。

偶関数や奇関数、関数の積については、フーリエ級数などを求める際に積分の性質により計算の簡略化につながるので、是非覚えておきたい。また、周期関数や関数の連続性と微分可能性、区分的に連続、区分的に滑らか等は、フーリエ解析を学ぶにあたって、基礎となる定義なので重要である。そして離散フーリエ変換へ発展すべく、オイラーの公式も覚えておきたい。

ガウス平面における複素数と指数関数の微積分について考えてみる。

複素数z=x+jyを2次元平面に対応させた座標系では横軸xを実軸、縦軸を虚軸と呼ぶ。原点を極、実軸の正の部分を始線とする極座標を用いると複素数zは(1)のように表される。ところでsinθ及びcosθのマクローリン展開よりexp(jθ)を考察することにより、導き出せるオイラーの公式を(1)の式に適用すると、(2)の式となる。これを複素数zの指数関数形式と言う。この指数関数の微分及び積分を考える。

複素数zの指数関数形式をtによる関数とすると、それらに対する微分及び積分は(1)と(2)のようになる。ここで注目すべき点は、微分をすることにより絶対値がω倍となり位相が90度進む、つまりガウス平面において反時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致する。同様に積分をすることにより絶対値が1/ω倍となり位相が90度遅れる、つまりガウス平面において時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致するのである。これら数式の工学的な意味としてフェーザ表示によって表された電気回路におけるコイルとコンデンサの微分方程式の位相の対応が挙げられる。