vNull Blog

数式を扱うことが多くなってきたため、vNull Development Blogに掲載されている学術的な記事に関してはpukiwikiに移行します。

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pLaTeXで論理否定を表すには、通常\barを用いる。しかしドモルガンの法則などを用いた二重否定された式に対して、\bar{\bar{A}+\bar{B}}などと書くと、表示がおかしくなってしまう。この問題に対して簡易的な解決策として、私は\overlineを\invとして再定義して使っている。以下に例を示す。
記述例:\def\inv{\overline}
使用例:\inv{\inv{A}+\inv{B}}

実際にコンピュータを用いてスペクトル解析を行う場合、無限の範囲の計算を行う数式はプログラムで扱いにくいので、有限個の点でサンプリングした場合のフーリエ変換と逆フーリエ変換を考える。

まず、複素フーリエ変換の指揮区間[-L,L]を区間[0,T]へシフトする為に変数変換を行うと(1)となる。ここで有限個のN点でサンプリングすることを考慮すると、複素フーリエ係数の積分は積和で計算可能となるので、(2)のようになる。よって最終的に求まった式の形として、(3)を離散フーリエ変換、(4)を逆離散フーリエ変換と言う。

離散フーリエ変換のオーダーはO(N^2)で、実用的なサンプリング周波数を取った場合、膨大な計算量になることを考えると現実的でない。この問題を解決するために、高速フーリエ変換(FFT)と呼ばれるオーダーがO(NlogN)で計算可能な画期的なアルゴリズムが存在する。

フーリエ級数展開では主に周期関数を扱っていたが、ここで全実数区間(-∞,∞)で定義された周期を持たない関数を扱う方法について考えてみる。ただしフーリエ変換で扱う関数は絶対可積分である必要がる。

まず任意の周期の複素フーリエ級数の式に複素フーリエ係数を展開すると(1)が求まる。そこで変数変換をすると(2)となるが、新たな関数Fを(3)のように定義すると(4)となる。今回は周期を持たない関数、つまりL->∞(ωn->0)の場合を考えるので、(5)となる。この式の形はリーマン和の定義に基づき(6)と変形が可能である。そこで(3)に関しても同様にL->∞(ωn->0)となるので(7)が求める。(7)をフーリエ変換と言い、(8)をフーリエ逆変換と言う。

フーリエ変換の式の持つ意味として、時間や座標を変数とする関数を周波数を変数とする関数に変換する作用があり、フーリエ逆変換の式の持つ意味として、周波数を変数とする関数を時間や座標を変数とする関数に変換する作用を持つ。工学的な応用としては幅広く、スペクトル解析などにより、音声解析、変換などに活用できる。

フーリエ級数をオイラーの公式を用いた複素フーリエ級数で表すと以下の通りになる。なお、今回は周期2Lの場合も同時に求める。

まず、オイラーの公式から求めた複素数形式の三角関数を用いて、フーリエ級数の等式変形を行うと(1)のようになる。ここで各フーリエ係数を(2)のようにおくと、(3)になる。これを複素フーリエ級数という。またcnは同様にオイラーの公式より(4)のようになる。特に周期2Lの複素フーリエ級数である(5)及び(6)はフーリエ変換へつながる非常に重要な公式なので併せて覚えたい。

フーリエ級数展開とは任意の周期関数を周期2πをもった三角関数系の一次結合で表す方法である。

区間[-π,π]において広義積分を含まない、すなわち有界なリーマン可積分関数f(x)の三角関数系におけるフーリエ級数及びフーリエ級数は以下の通りである(なお、フーリエ係数anのnの範囲に定数項であるa0も含まれていることに注意)。

ここでフーリエ級数の収束性についても若干触れておくと、関数f(x)が区分的になめらかならば、f(x)のフーリエ級数は全ての点で収束する。その値をs(x)とすると、関数f(x)が連続な点x0ではf(x0)に、不連続な点x0では(4)をとることが示される。したがって式(1)では等号の=ではなく、近似の〜を用いて関数f(x)を表している。

次に周期関数の周期が2πではない場合、すなわち周期2Lのような場合のフーリエ級数は以下の通りである。

上記式は複素フーリエ級数展開からフーリエ変換へ発展する重要な公式なので是非覚えておきたい。

電気電子回路のいくつかの記事に誤りがあったので、画像及び内容を修正。

フーリエ解析を学ぶにあたり、必要な関連予備知識の一覧を以下に示す。なお数学的な厳密さには欠けるが、フーリエ解析の数式などを理解するにあたってはこの程度で十分であると思う。

偶関数や奇関数、関数の積については、フーリエ級数などを求める際に積分の性質により計算の簡略化につながるので、是非覚えておきたい。また、周期関数や関数の連続性と微分可能性、区分的に連続、区分的に滑らか等は、フーリエ解析を学ぶにあたって、基礎となる定義なので重要である。そして離散フーリエ変換へ発展すべく、オイラーの公式も覚えておきたい。

ガウス平面における複素数と指数関数の微積分について考えてみる。

複素数z=x+jyを2次元平面に対応させた座標系では横軸xを実軸、縦軸を虚軸と呼ぶ。原点を極、実軸の正の部分を始線とする極座標を用いると複素数zは(1)のように表される。ところでsinθ及びcosθのマクローリン展開よりexp(jθ)を考察することにより、導き出せるオイラーの公式を(1)の式に適用すると、(2)の式となる。これを複素数zの指数関数形式と言う。この指数関数の微分及び積分を考える。

複素数zの指数関数形式をtによる関数とすると、それらに対する微分及び積分は(1)と(2)のようになる。ここで注目すべき点は、微分をすることにより絶対値がω倍となり位相が90度進む、つまりガウス平面において反時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致する。同様に積分をすることにより絶対値が1/ω倍となり位相が90度遅れる、つまりガウス平面において時計回りに90度ベクトルを回転させることに一致するのである。これら数式の工学的な意味としてフェーザ表示によって表された電気回路におけるコイルとコンデンサの微分方程式の位相の対応が挙げられる。

Internet Explorerでは「ツール」→「インターネットオプション」→「全般」でソフトを起動したときに表示できるホームページを変更できるが、稀にInternet Explorerの最新バージョンの紹介をするMicrosoftのページに飛ばされることがあるが、そのタイミングに再現性が無く微妙に気持ち悪い。以下に無効にする方法を示す。

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